Talk: Post-Quantum Cryptography and Crypto Agility

Mario Duhanic, 24.10.2024

Einleitung

Am 24. Oktober 2024 war ich eingeladen, bei SysEleven (für die OWASP Community) einen Vortrag zum Thema Krypto-Agilität in Zeiten des Quantencomputings zu halten. Das war eine wunderbare Veranstaltung mit einer großartigen Diskussion im Anschluss.

Die Idee war, die Experten im Publikum zu motivieren, die Post-Quantum-Kryptographie und ihre Gefahren auf ihrem Radar zu behalten. Der Vortrag ging nicht tief in die Mathematik dahinter ein, sondern sollte eher einen Überblick auf Top-level-Niveau geben, wenn auch für ein technisches Publikum.

Damit das Thema nicht zu trocken ist, habe ich ein paar Nerd-T-Shirts eingebunden.

Präsentation

Lesen Sie weiter, wenn Sie etwas über die nerdigen Grundlagen wissen wollen oder klicken Sie sich durch die Präsentation unten.

Grundlagen

Hier sind ein paar Grundlagen, die Ihnen helfen sollen, einige der grundlegenden Ideen hinter Qubits zu verstehen. Wenn Sie sich für Mathematik interessieren, sollte dies leicht verdaulich sein, wenn nicht, keine Sorge: die Präsentation basiert nicht darauf.

Bra-ket

Wenn Sie über Quantenmechanik lesen, werden Sie oft auf spitze Klammern stoßen. Was bedeuten sie und wie spricht man sie aus?

Die Bra-ket-Notation, auch bekannt als Dirac-Notation, ist eine in der Quantenmechanik weit verbreitete Notation in der linearen Algebra (auf komplexen Vektorräumen). Die Notation wurde eingeführt, um die Notation quantenmechanischer Ausdrücke zu vereinfachen. Der Name spielt auf das englische „bracket“ an.

In der Quantenmechanik und der Quanteninformatik wird diese Notation verwendet, um so genannte Quantenzustände zu bezeichnen. Die Notation verwendet spitze Klammern ⟨ und ⟩.

Ket

Ein Ket ist „nur“ ein komplexer Vektor und wird mit \(|\varphi\rangle\) geschrieben, der einen Zustand eines Quantensystems darstellt. Es wird als „ket phi“ gelesen.

Bra

Bra \(\langle \psi|\) (lies „bra psi“) kann als ein Vektor des dualen (komplexen) Vektorraums verstanden werden. Jedes \(|\varphi\rangle\) („Ket phi“) entspricht dann einem \(\langle \psi|\) („Bra psi“). Ja, das klingt kompliziert und es gibt gute Bücher zu diesem Thema. Für uns hier reicht das erst einmal.

Bits und Qubits

Im Gegensatz zu einem klassischen Bit kann ein Qubit mehr als zwei Zustände annehmen, theoretisch sogar (unabzählbar) unendlich viele.

Aber lassen Sie uns zunächst ein häufiges Missverständnis ausräumen. Wenn wir von einem Qubit sprechen, heißt das nicht, dass es gleichzeitig eine 1 und eine 0 ist. Man muss es sich vielmehr so vorstellen, dass es teilweise eine 1 und teilweise eine 0 ist. Es ist wie ein Dimmer für die Wahrscheinlichkeit, nicht wie ein An/Aus-Schalter. Bevor wir es messen, existiert ein Qubit in einer Überlagerung dieser Zustände, d. h. es hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, eine 0 zu sein, und eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu sein.

Wie können wir uns nun diesen „teilweisen“ Zustand vorstellen? Hier kommt die Bloch-Kugel ins Spiel. Stellen Sie sich eine gewöhnliche Kugel vor. Der Nordpol steht für den Zustand, in dem das Qubit definitiv eine 0 ist, und der Südpol für den Zustand, in dem es definitiv eine 1 ist. Jeder andere Punkt auf der Oberfläche dieser Kugel stellt einen möglichen Überlagerungszustand des Qubits dar. Je näher ein Punkt am Nordpol liegt, desto „0-artiger“ ist das Qubit; je näher am Südpol, desto „1-artiger“.

Wie lässt sich nun ein Punkt auf dieser Bloch-Kugel in eine mathematische Beschreibung übersetzen? An dieser Stelle kommt die Bra-Ket-Notation ins Spiel. Sie ist eine sehr elegante und kompakte Methode zur Darstellung von Quantenzuständen.

Stellen Sie sich den eindeutigen Zustand von \(0\) so vor, dass er wie folgt geschrieben wird: \(∣0⟩\). Dies nennt man ein „ket“ (s. oben). In ähnlicher Weise wird der definitive Zustand von \(1\) geschrieben als: \(∣1⟩\).

Wenn sich unser Qubit nun in einer Superposition befindet, d. h. irgendwo auf der Bloch-Kugel, die nicht direkt an den Polen liegt, können wir seinen Zustand als eine Kombination dieser \(∣0⟩\) und \(∣1⟩\) Kets beschreiben. Zum Beispiel kann ein allgemeiner Qubit-Zustand ∣ψ⟩ geschrieben werden als:

Hier sind α und β komplexe Zahlen, die uns die „ Größe “ von \(∣0⟩\) und \(∣1⟩\) im Zustand unseres Qubits angeben. Das absolute Quadrat dieser Zahlen, \(∣α∣^2\) und \(∣β∣^2\), gibt uns die Wahrscheinlichkeiten, das Qubit im Zustand \(∣0⟩\) bzw. \(∣1⟩\) zu messen. Wichtig ist, dass sich diese Wahrscheinlichkeiten zu 1 addieren müssen (denn wenn wir messen, müssen wir entweder eine 0 oder eine 1 erhalten).

Kurz gesagt, die Bloch-Kugel gibt uns eine schöne Vorstellung von allen möglichen Überlagerungszuständen eines Qubits, und die Bra-Ket-Notation bietet eine elegante und präzise mathematische Sprache zur Beschreibung dieser Zustände, die zeigt, wie viel von den definitiven Zuständen \(∣0⟩\) und \(∣1⟩\) miteinander „vermischt“ sind. Die Position auf der Bloch-Sphäre entspricht direkt den Werten von α und β in der Bra-Ket-Schreibweise!

Tja, willkommen in der Welt der Qubits!